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DÉTAILS DU SEMESTRE 5

M.E. Langues Vivantes 5 (3 ECTS)

M.E. Culture d'Entreprise 5 (3 ECTS)

M.E. Outils de Base pour l'Ingénieur (6 ECTS)

▸ ▿ Informatique de Base - Langage C (3 ECTS)

Volume horaire : 12h CM / 12h TD / 24h TP

Objectifs du cours : Apporter les bases nécessaires communes en informatique (programmation en langage C) aux élèves ingénieurs.

Prérequis : Aucun.

Contenu du cours : Éléments de syntaxe ; Structure d'un programme ; Structure de contrôle ; Fonction, variable, durée de vie ; Gestion de la mémoire ; Types de données (prédéfinis, pointeurs, énumération, structure) ; Chaînes de caractères ; Bibliothèques ; Programmation modulaire ; Gestion des entrées/sorties.

▸ ▿ Analyse et Traitement de Données (3 ECTS)

Volume horaire : 30h CM	Exemples d'outils numériques pour le traitement du signal
Objectifs du cours : Comprendre : les contraintes liées aux signaux physiques, les problèmes liés à la numérisation, l'intérêt d'une représentation fréquentielle et d'un filtrage. Savoir : numériser un signal, analyser un spectre, analyser la réponse en fréquence d'un filtre, concevoir des filtres numériques simples.
Prérequis : Aucun.
Contenu du cours : Motivation et exemples Signaux analogiques Représentation spectrale De l'analogique au numérique Introduction au filtrage numérique Quelques exemples détaillés TP d'introduction à Matlab pour le TNS ; TD d'exercices théoriques et appliqués sur PC.

▸ ▿ M.E. Mathématiques pour l'Ingénieur (2 ECTS)

Volume horaire : 30h TD	Fonction d'Airy intervenant en diffraction d'ondes électromagnétiques
Objectifs du cours : Ce cours a pour but de revoir toutes les notions de mathématiques faisant partie du «background» d'un ingénieur acquises au cours des deux premières années d'études supérieures, et de développer la faculté de choisir les outils adaptés à la compréhension et à la résolution d'un problème donné.
Prérequis : Mathématiques de base de L1-L2 ou de CPGE.
Contenu du cours : Suites et séries. Notions de topologie réelle et dans un espace de dimension finie. Normes et distances. Fonctions: continuité, limites, étude, dérivabilité, extrema. Développements limités. Séries entières, séries de Fourier. Équations différentielles ordinaires. Systèmes différentiels ordinaires. Espaces vectoriels. Endomorphismes et matrices. Déterminant. Espaces propres. Rang et théorème du rang. Inversion par la méthode du pivot de Gauss. Diagonalisation. Propriétés des espaces propres. Espaces stables. Réduction. Espaces vectoriels euclidiens et endomorphismes symétriques. Suites et séries de fonctions. Intégration.

▸ ▿ M.E. Analyse Fonctionnelle (6 ECTS)

Volume horaire : 39h CM / 39h TD	Trajectoire des solutions d'un système de Lotka-Volterra modélisant l'évolution d'une population
Objectifs du cours : Ce cours a pour but de présenter aux futurs ingénieurs les outils de l'analyse fonctionnelle et leur application à la résolution théorique et numérique d'un problème. Une attention particulière sera portée à la fois à la compréhension et au maniement de ces outils.
Prérequis : Mathématiques de base de L1-L2 ou de CPGE : Étude de fonctions. Suites et séries.
Contenu du cours : Théorèmes d'existence locale pour les EDO. Inégalité de Gronwall et unicité des solutions d'EDO (conditions de Cauchy). Espace de Banach; applications linéaires continues, applications à noyau intégral. Contractions et théorèmes du point fixe. Techniques de perturbation et développements de Von Neumann. Application a l équation de Laplace 1D. Espaces de Hilbert. Théorème de représentation de Riesz et application à l'équation de Laplace 1D. Bases hilbertiennes. Séries de Fourier. Application a l'équation de Laplace dans le disque. Opérateurs auto-adjoints. Différentielles, calcul différentiel du premier ordre. Extrema libres et liés. Application à la résolution d'EDP et au calcul spectral. Calcul différentiel du second ordre.

▸ ▿ M.E. Analyse Numérique, Approximation, Interpolation, EDO (7 ECTS)

Volume horaire : 30h CM / 30h TD / 30h TP	Approximation d'une fonction par les polynômes de Lagrange ; Mise en évidence du phénomène de Runge
Objectifs du cours : Ce cours, en partenariat avec les TD et TP qui lui sont associés, est destiné à présenter aux futurs ingénieurs les bases de l'analyse numérique : notion de «résolution numérique» d'un problème, choix d'une méthode, analyse de convergence et de stabilité, mise en œuvre informatique.
Prérequis : Mathématiques de base de L1-L2 ou de CPGE : algèbre linéaire, analyse (intégrales, formules de Taylor, équations différentielles).
Contenu du cours : Méthodes directes de résolution de systèmes linéaires (Gauss, Cholewski). Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires (Jacobi, Gauss-Seidel, SSOR). Interpolation des fonctions (polynôme d'interpolation, splines). Approximation des fonctions par des polynômes, polynômes orthogonaux. Intégration numérique : définition, méthodes de Newton-Cotes et de Gauss. Résolution numérique des équations différentielles : définitions et outils. Résolution numérique des équations différentielles : méthodes de Runge-Kutta et multipas.

▸ ▿ M.E. Informatique, Algorithmie et Structure (3 ECTS)

Volume horaire : 30h CM-TD / 15h TP	Algorithme de tri par fusion
Objectifs du cours : Donner aux élèves-ingénieurs des outils élémentaires pour analyser un problème algorithmique (très) simple, concevoir une solution dans une famille d'algorithmes donnée, prouver sa correction, évaluer sa complexité algorithmique, et l'implémenter en langage C.
Prérequis : Notions de base de logique.
Contenu du cours : Le cours présente une partie de la boîte à outils de l'algorithmicien. La conception et l'analyse (complexité en temps et en espace) d'algorithmes sont illustrées par des exemples classiques empruntés à trois grandes familles : des algorithmes gloutons pour la planification de tâches, la recherche de chemins de longueur minimale et d'arbres couvrants de poids minimal dans un graphe, le partitionnement de données ; des algorithmes du type «diviser pour régner» pour le tri et quelques variantes, la multiplication entière et matricielle ; des algorithmes relevant de la programmation dynamique pour la planification de tâches pondérées, la recherche de chemins de longueur minimale dans un graphe. En TP, les élèves-ingénieurs implémentent en C quelques algorithmes du cours, et d'autres. Ces TP sont aussi l'occasion d'étudier certaines structures de données utiles pour la mise en œuvre concrète de ces algorithmes.

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DÉTAILS DU SEMESTRE 6

M.E. Langues Vivantes 6 (3 ECTS)

M.E. Culture d'Entreprise 6 (3 ECTS)

▸ ▿ M.E. Analyse Numérique pour les Équations aux Dérivées Partielles (5 ECTS)

Volume horaire : 30h CM / 30h TD	Harmoniques d'une corde vibrante. L'équation des ondes est omniprésente dans les applications industrielles
Objectifs du cours : Construire, analyser et mettre en œuvre la discrétisation d'une EDP, notamment par l'écriture de schémas de différences finies ou de volumes finis pour les équations aux dérivées partielles.
Prérequis : Analyse numérique 1, Analyse 1.
Contenu du cours : Introduction - Classification des EDP : Propriétés fondamentales des EDP elliptiques, hyperboliques et paraboliques. Équation de la chaleur : Propriétés - principe du maximum ; Schéma d'Euler explicite - erreur de troncature ; Notions de consistance, stabilité et convergence ; Analyse de Von Neumann ; Schémas de Richardson, schéma implicite d'Euler, Theta-schémas. Approximation des problèmes elliptiques : Principe du maximum ; Discrétisation en différences finies et principe du maximum discret. Équation des ondes en dimension 1 : Schéma explicite ; Analyses de causalité, de Von Neumann, par l'énergie. Équations hyperboliques : Lois de conservation scalaire, courbes caractéristiques ; Schémas pour l'équation de transport. Introduction aux équations hyperboliques non linéaires : Notion de solution faible ; Schémas adaptés.

▸ ▿ M.E. Langage C Avancé (2 ECTS)

Volume horaire : 30h CM	Le «C», un langage divin ?
Objectifs du cours : Connaître les spécificités du langage C en vue de son utilisation en analyse numérique.
Prérequis : Connaissance de base du langage C.
Contenu du cours : Aperçu de la gestion mémoire. Structures, pointeurs, allocation dynamique de mémoire. Compilation multi-fichier, utilisation/création de bibliothèques. Gestion de la compilation avec Gnu MAKE. Debuggage avec gdb. Pointeurs sur fonction. Structure de données. Entrée/sortie sur fichiers. Sortie de données pour GNUplot et en format VTK. Utilisation du préprocesseur. Priorité des opérateurs. Chaînes de caractères.

▸ ▿ M.E. Théorie de l'Intégration et Variables Aléatoires (4 ECTS)

Volume horaire : 30h CM / 30h TD	Droite de régression d'une variable aléatoire et représentation de l'écart-type
Objectifs du cours : Les futurs ingénieurs de la MACS vont être amenés durant leur carrière à utiliser des probabilités et des statistiques. L'objectif du cours est d'assurer une formation en théorie de la mesure et en probabilités, offrant un bagage solide aux élèves ingénieurs. Il couvre aussi bien des problèmes très théoriques qu'un passage en revu des lois usuelles et de leur manipulation.
Prérequis : Cours d'analyse générale de L1-L2 ou de CPGE.
Contenu du cours : Mesure de Lebesgue sur R. Espaces L1 et L2. Théorèmes de convergence monotone et dominée. Mesure de Lebesgue sur Rn. Théorème de Fubini. Probabilités sur des ensembles discrets. Variables aléatoires discrètes, espérance, indépendance, couples de variables aléatoires discrètes. Variables aléatoires continues. Suites de variables aléatoires et convergences. Transformée de Fourier et fonctions caractéristiques.

▸ ▿ M.E. Statistiques (3 ECTS)

Volume horaire : 21h CM / 30h TD	Histogramme de populations et enveloppe gaussienne
Objectifs du cours : Étudier des méthodes de statistique inférentielle permettant de tirer des conclusions sur une population à l'aide de mesures données provenant d'un échantillon choisi dans cette population.
Prérequis : Probabilités 1.
Contenu du cours : Modèles statistiques, estimation ponctuelle (méthode des moments, maximum de vraisemblance), inégalité de Cramer-Rao, intervalles de confiance. Vecteurs gaussiens, loi du Χ2, de Student, de Fisher, théorème de Cochran, intervalles de confiance pour un échantillon gaussien. Tests d'hypothèses, d'adéquation et d'indépendance, Lemme de Neyman-Pearson. Modèles linéaire.

▸ ▿ M.E. Projets Numériques Probabilistes (2 ECTS)

Volume horaire : 30h Projets	Comment générer un nombre aléatoire avec une machine déterministe ???
Objectifs du cours : Mettre en œuvre les connaissances acquises en cours de probabilités et statistiques. Apprendre à manier un langage informatique simple (MATLAB). Gérer des petits projets de manière autonome.
Prérequis : Cours de Probabilités et Statistiques MACS 1.
Contenu du cours : Générateurs pseudo aléatoires. Méthode de génération des lois usuelles : inversion, acceptation - rejet. Monte-Carlo : calcul d'espérances et de quantiles. Réduction de variance, échantillonnage préférentiel.

▸ ▿ M.E. Introduction à la Finance (2 ECTS)

Volume horaire : 30h CM	Indice du prix des logements
Objectifs du cours : Ce cours est divisé en deux parties. La première a pour but d'introduire des notions relatives au monde de la finance et de présenter quelques métiers de la finance. La deuxième partie présente des modèles simples liés aux marchés financiers.
Prérequis : Aucun.
Contenu du cours : Rôles des banques et des organismes financiers dans l'économie. Rôle des mathématiques et place de l'ingénieur dans la finance. TP d'initiation à Excel. Calculs de volatilité. Couverture et optimisation de portefeuilles.

▸ ▿ M.E. Mécanique des Milieux Continus (4 ECTS)

Volume horaire : 30h CM / 30h TD	Des efforts à la déformation…
Objectifs du cours : Introduire les notions fondamentales de la mécanique des milieux continus dans un cadre statique, avec une attention particulière à la mécanique du solide (la mécanique des fluides étant étudiée en 2ème année).
Prérequis : Notions d'algèbre linéaire, de calcul différentiel et d'intégration de L1 et L2 ; quelques notions de mécanique rationnelle.
Contenu du cours : Milieux curvilignes plans déformables, une introduction aux concepts de la mécanique des milieux continus. Déformations des milieux continus 3D : cinématique (Euler - Lagrange), les déformations, les tenseurs de déformation. Efforts dans les milieux continus 3D : efforts extérieurs, efforts intérieurs, tenseur des contraintes de Cauchy. Équations du mouvement des milieux continus et conditions aux limites. Comportement des milieux continus 3D : principes généraux, comportement élastique linéarisé des solides; résolution des problèmes aux limites obtenus.

▸ ▿ M.E. Projets Numériques Déterministes (2 ECTS)

Volume horaire : 30h Projet	Solution de l'équation de Poisson par la méthode des différences finies
Objectifs du cours : Mettre en œuvre les connaissances acquises en cours d'analyse numérique. Apprendre à manier un langage informatique simple (MATLAB). Apprendre à découper un problème complexe en sous-problèmes simples, puis à écrire les modules permettant de résoudre chacun de ces sous-problèmes. Gérer des petits projets de manière autonome.
Prérequis : Analyse numérique 1 et 2.
Contenu du cours : Écriture d'algorithmes à partir de problèmes issus de l'algèbre linéaire, de la résolution de systèmes linéaires par méthode itérative (Jacobi, Gauss-Seidel) ou d'équations non linéaires, de la résolution de problèmes de valeurs propres et vecteurs propres (méthode de Jacobi, QR, puissance, GMRS), de la résolution numérique des Équation Différentielles Ordinaires (Euler explicite, implicite, méthodes de Runge Kutta et multi-pas) et des Équations aux Dérivées Partielles (différences finies, volumes finis). Écriture de programmes MATLAB à partir de ces algorithmes.

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DÉTAILS DU SEMESTRE 7

M.E. Langues Vivantes 7 (3 ECTS)

M.E. Culture d'Entreprise 7 (3 ECTS)

▸ ▿ M.E. Méthode des Éléments Finis : Théorie et mise en œuvre (4 ECTS)

Volume horaire : 24h CM / 21h TD	Maillage éléments finis 3D d'un avion et de l'air environnant
Objectifs du cours : Ce cours, en partenariat avec les TD et TP qui lui sont associés, est destiné à présenter aux futurs ingénieurs les bases de l'analyse numérique : notion de «résolution numérique» d'un problème, choix d'une méthode, analyse de convergence et de stabilité, mise en œuvre informatique.
Prérequis : Analyse numérique 1 et 2, Analyse.
Contenu du cours : Espaces de Sobolev, formules de Green, théorème de trace. Formulation variationnelle, théorème de Lax-Milgram. Applications et extensions. Méthodes d'éléments finis : définition, approximation, convergence, mise en œuvre, assemblage.

▸ ▿ M.E. Optimisation Continue et Analyse Convexe (4 ECTS)

Volume horaire : 24h CM / 21h TD	Le problème de Didon ou comment obtenir la plus grande surface pour un périmètre donné
Objectifs du cours : Ce cours, en partenariat avec les TD et TP qui lui sont associés, est destiné à présenter aux futurs ingénieurs les bases de l'analyse numérique : notion de «résolution numérique» d'un problème, choix d'une méthode, analyse de convergence et de stabilité, mise en œuvre informatique.
Prérequis : Analyse numérique 1 et 2, Analyse.
Contenu du cours : Optimisation avec ou sans contraintes : convexité, lagrangiens, dualité, point selle. Algorithmes pour l'optimisation sans contrainte : gradient, gradient conjugué, GMRES, … Algorithmes pour l'optimisation avec contraintes : projection, Uzawa, …

▸ ▿ M.E. Langage C++ (2 ECTS)

Volume horaire : 30h CM	Langage C++ : un langage «orienté objet»
Objectifs du cours : Être capable d'utiliser l'approche orientée objet pour modéliser une application ou rejoindre un projet existant: démarche et mise en œuvre en langage C++.
Prérequis : Algorithmique, connaissance des langages de programmation, maîtrise du langage C.
Contenu du cours : Conception : Notions de Génie Logiciel ; Programmation Objet. Langage C++ : De C à C++ ; Nouveaux concepts (et nouveau langage). Objets en C++ : Classes ; Construire une application ; Généricité: patrons, héritage ; Exceptions. Projet/programmation en C++

▸ ▿ M.E. Processus Stochastiques en Temps Discrets (5 ECTS)

Volume horaire : 30h CM / 30h TD	Un exemple de chaîne de Markov et la matrice associée
Objectifs du cours : Dans ce cours, on étudiera d'une part en théorie les chaînes de Markov et les martingales en temps discret, et d'autre part leurs applications en finance.
Prérequis : Probabilités de base de L3 : Variables aléatoires, lois discrètes et continues, espérance, loi des grands nombres, théorème central de limite.
Contenu du cours : Chaîne de Markov. Espérances conditionnelles. Martingales en temps discret. Applications de la théorie de martingales en finance : Modèle de Cox-Ross-Rubinstein. Arrêt optimal et options américaines.

▸ ▿ M.E. Projets Numériques Probabilistes : Applications des Chaînes de Markov (2 ECTS)

Volume horaire : 30h Projets	Le jeu de roulette : un des premiers exemples d'applications de martingales en temps discret
Objectifs du cours : The purpose of this course is to highlight a few applications of discrete Markov chains, with an emphasis on their usefulness from end-users' point of view. One thread is the valuation of financial derivatives for both European and American-style exercise, based on the binomial method developed by Cox, Ross & Rubinestein (1979). The essential tools in the theory of backward Kolmogorv equations are recalled. The other thread is recursive macroeconomics, where discrete Markov chains can be used as a powerful tool to solve complicated dynamic problems through a parsimonious representation of the evolution of state variables. In the simplest setting, there is a single agent placed in a stochastic environment that must trade-off current preriod's utility and a continuation value for utility in all future periods. More sophisticated versions revolve around equilibrium concepts rendering the choices of multiple agents coherent. While a host of practical issues can be studied, the course will focus on the role of distorting taxes and the design of optimal fiscal policy as an example.
Prérequis : Basic familiarity with mathematical concepts is expected.
Contenu du cours : Lectures will comprise two parts. Some essential results will first be conveyed on an intuitive level through slides. A «hands-on» session is then devoted to a practical problem and its implementation using either Scilab or Matlab. Students have to hand in the code, individually or in pairs, when the course resumes the following week.

M.E. Mécanique des Fluides & Équation de Boltzmann (3 ECTS)

▸ ▿ Mécanique des Fluides (2 ECTS)

Volume horaire : 15h CM / 15h TD	Tourbillons de Von Karmann en aval d'un obstacle
Objectifs du cours : Introduire les principaux concepts de la mécanique des fluides.
Prérequis : Mécanique 1.
Contenu du cours : Statique des fluides : Formulation et résolution dans quelques cas simples. Tension superficielle. Propriétés énergétiques des configurations d'équilibre. Dynamique des fluides parfaits incompressibles : Équation d'Euler et de Navier-Stokes. Écoulements irrotationnels et incompressibles. Théorèmes de Bernoulli. Ondes de surface.

▸ ▿ Équation de Boltzmann (1 ECTS)

Volume horaire : 15h CM	De la mécanique du point à la mécanique des fluides ; Échelles microscopique, mésoscopique et macroscopique
Objectifs du cours : Ce cours s'attache à montrer comment passer d'une description atomique de la matière à une description statistique de la matière via l'équation cinétique de Boltzmann, équation qui permet de décrire notamment le comportement d'un gaz en atmosphère raréfiée. Ce cours s'attache également à montrer comment passer de l'équation de Boltzmann aux équations de la mécanique des milieux continus décrivant le comportement d'un fluide (équations d'Euler et de Navier-Stokes).
Prérequis : Mathématiques de base de L1-L2, analyse (intégrales, équations différentielles).
Contenu du cours : Rappels de mécanique du point. Notions de gaz dilué, de section efficace, de libre parcours moyen, de nombre de Knudsen, de gaz raréfié et de gaz dense. Dérivation de l'équation cinétique de Boltzmann. Propriétés de l'équation de Boltzmann dans le cas homogène en espace : théorème H (notion d'entropie), minimisation de l'entropie, construction de l'état d'équilibre thermodynamique (notion de maxwellienne). Dérivation formelle des équations d'Euler et de Navier-Stokes compressibles à partir de l'équation de Boltzmann. Origine des phénomènes de dissipation (viscosité et conduction thermique). Résolution numérique de l'équation de Boltzmann (méthode de Monte-Carlo, méthode déterministe). Quelques extensions de la théorie cinétique classique de Boltzmann.

▸ ▿ M.E. Projets Numériques Déterministes : Application de la Méthode des Élements Finis (2 ECTS)

Volume horaire : 30h Projets	Solution de l'équation de la chaleur sur une couronne (calculée en utilisant la méthode des éléments finis).
Objectifs du cours : Mettre en pratique les connaissances acquises en cours d'analyse numérique, d'éléments finis et d'optimisation. Apprendre à manipuler un langage informatique évolué (Langage C). Apprendre à mener un projet de manière autonome, individuellement ou en groupe.
Prérequis : Analyse numérique 1, 2 et 3, Langage C
Contenu du cours : Mise en œuvre de la méthode des éléments finis 1D et 2D. Création et manipulation de structures. Écriture et comparaison d'algorithmes de résolution de systèmes linéaires. Visualisation des résultats obtenus. Utilisation de logiciels libres (maillages, algèbre linéaire, visualisation…). Interfaçage de logiciels. Les premières séances seront consacrées à la prise en main des outils au travers de TP. La deuxième partie du projet sera consacrée à la réalisation d'un projet plus ambitieux (par groupe de 3 ou 4 élèves).

M.E. Mathématiques dans le Métier d'Ingénieur (2 ECTS)

▸ ▿ Finance de Marché (1 ECTS)

Volume horaire : 15h CM	Une salle de marché
Objectifs du cours : Introduire les différents modèles qui sont utilisés en finance de marché.
Prérequis : Introduction à la finance.
Contenu du cours : Titres de dettes ; Marchés financiers ; Metiers et stratégies en salle de marchés ; Taux interbancaires ; Rôle de la banque centrale européenne ; Titrisation.

▸ ▿ Méthodes en Ingénierie Mathématique (1 ECTS)

Volume horaire : 15h CM	Calcul électromagnétique sur un AIRBUS
Objectifs du cours : Le cours vise à aborder plusieurs dimensions du travail de l'ingénieur «MACS» en poste au sein d'une équipe de R&D : il insiste sur les aspects pluridisciplinaires et dons la communication scientifique entre plusieurs acteurs, c'est pourquoi on insiste sur la présentation de la démarche scientifique autant que sur le contenu mathématique (vu par ailleurs).
Prérequis : Mécanique 1 et 2, Analyse Numérique 1, 2 et 3.
Contenu du cours : Chaque séance se présente comme une étude de cas : interface avec les experts du domaine d'application pour la modélisation, démarche de critique et pertinence des modèles retenus : quel modèle pour quel usage ? démarche d'analyse d'erreurs (numérique, de données, de modèle) en situation d'incertitudes et de méconnaissance, validation : qu'est-ce que ça veut dire dans un contexte industriel Dans chaque séance, un (ou plusieurs) groupe d'élèves présente un exemple qu'il a choisi et un débat de type «pluri-disciplinaire / pluri-culturel» est déclenché. La progression du groupe est mesurée lors de la dernière séance : c'est cette progression qui mesure la validation du module. (Un travail effectif du groupe sur l'exposé en construction est donc nécessaire entre 2 séances). Le choix du thème est laissé au groupe, l'animateur pouvant couvrir la modélisation en «physique» et en «finance».

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DÉTAILS DU SEMESTRE 8

M.E. Langues Vivantes 8 (3 ECTS)

M.E. Culture d'Entreprise 8 (3 ECTS)

▸ ▿ M.E. Théorie des Distributions : Fondements et Propriétés (4 ECTS)

Volume horaire : 24h CM / 21h TD	Approximations de la masse de Dirac
Objectifs du cours : Donner une base théorique solide aux différentes techniques utilisées dans les cours d'Analyse Numérique et d'Optimisation.
Prérequis : Théorie de l'intégration de MACS 1 (ou L3), en particulier le théorème de convergence dominé. Notions d'analyse fonctionnelle (densité dans les espaces de fonctions, convergence uniforme…).
Contenu du cours : Définition, Mesure de Dirac, Approximation de l'identité. Dérivée, ordre, support, restriction, opérations élémentaires. Formule des sauts, formule de Green, convolution. Distributions tempérée. Transformée de Fourier des distributions tempérées.

▸ ▿ M.E. Calcul Stochastique et Mouvement Brownien (3 ECTS)

Volume horaire : 30h CM	Le mouvement brownien, d'abord introduit par les physiciens, est aujourd'hui très utilisé en probabilités
Objectifs du cours : Introduire et se familiariser avec les outils principaux du calcul stochastique, notamment le mouvement brownien et l'utilisation de la formule d'Itô dans l'étude et l'analyse des modéles stochastiques surtout en économie et en finance.
Prérequis : Probabilités I et II.
Contenu du cours : Rappels de probabilités: vecteurs gaussiens, esperance conditionnelle. Notions de processus, filtrations, temps d'arrêt. Mouvement brownien et ses propriétés. Construction de l'integrale stochastique. Formule d'Itô et ses applications. Changement de probabilités: théorème de Girsanov. Applications en finance: modèle de Black-Scholes. Introduction aux équations differentielles stochastiques et formule de Feynman-Kac.

M.E. Analyse Appliquée Avancée (4 ECTS)

▸ ▿ Espaces de Sobolev

Volume horaire : 15h CM

Contenu du cours : Définitions des espaces de Sobolev. Application aux problèmes aux limites. Formules de trace.

▸ ▿ Mécanique Quantique

Volume horaire : 15h CM

Objectifs du cours : Pouvoir calculer une fonction de probabilité de présence d'une particule solution de l'équation de Schrödinger. Pouvoir étudier l'évolution d'un système à deux ou trois états.

Prérequis : Analyse 1 et 2, Optimisation, Statistiques.

Contenu du cours : Équation de Schrödinger avec potentiel ; Inéglité d'Heisenberg ; Transformée de Fourier et opérateur d'impulsion ; Notion d'observable ; Paradoxe du chat de Schrödinger ; Barrière et puit de potentiel ; Oscillateur harmonique quantique.

▸ ▿ Méthodes Multi-échelles

Volume horaire : 15h CM	Les bases d'ondelettes sont notamment utilisées pour la compression d'images
Objectifs du cours : Ce cours porte sur quelques méthodes d'approximation et en particulier sur l'approximation multi-echelle. On abordera en particulier l'approximation spline, la construction des bases d'ondelettes et les schémas de subdivision. On présentera certaines applications pour la représentation/compression des images, l'animation et la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles.
Prérequis : Analyse et Analyse numérique.
Contenu du cours : Approximation multi-échelle Analyses multi-résolutions et ondelettes ; applications Schémas de subdivision ; applications Approximation non linéaire

▸ ▿ M.E. Problèmes Paraboliques : Théorie et Discrétisation (2 ECTS)

▸ ▿ M.E. Projets Numériques : Volumes finis pour les équations paraboliques (2 ECTS)

▸ ▿ M.E. Systèmes Hyperboliques : Théorie et Numérique (2 ECTS)

Volume horaire : 30h CM	Solution du problème de Riemann pour les équations d'Euler
Objectifs du cours : Présenter des éléments d'analyse mathématique et quelques schémas numériques pour les équations aux dérivées partielles hyperboliques et sur un cas particulier de système. Les problèmes hyperboliques ont des applications importantes en mécanique des fluides, mais également pour d'autres phénomènes moins connus, par exemple la modélisation du trafic routier.
Prérequis : Mathématiques générales de base, dont les valeurs propres et vecteurs propres en dimension finie et les fonctions convexes.
Contenu du cours : Advection non linéaire : caractéristiques, acoustique linéaire, formulation faible, chocs, détentes, entropie mathématique, volumes finis, schéma de Godunov. Introduction aux équations de Saint Venant : modélisation physique et mathématique, ondes de détentes et de chocs, relations de Rankine-Hugoniot, problème de Riemann.

▸ ▿ M.E. Projets Numériques : Volumes finis pour les équations hyperboliques (2 ECTS)

Volume horaire : 30h Projet	Simulation numérique de l'écoulement autour d'un avion
Objectifs du cours : Mettre en œuvre les connaissances acquises en cours d'analyse numérique et en cours d'informatique. Apprendre à conduire un projet de manière autonome, de manière individuelle ou collective.
Prérequis : Systèmes hyperboliques, Langage C, Langage C++.
Contenu du cours : Mise en œuvre de la méthode des volumes finis en 1D sur différentes équations hyperboliques : transport simple, burgers, systèmes de Saint-Venant. Introduction de la notion de flux numérique et analyse de différents flux. Notions de consistance et stabilité. Utilisation de logiciels libres (maillages, algèbre linéaire, visualisation…) Les premières séances seront consacrées à la prise en main des outils au travers de TP. La deuxième partie du projet sera consacrée à la réalisation d'un projet plus ambitieux (par groupe de 3 ou 4 élèves).

M.E. Option (1 cours au choix parmi 2) (2 ECTS)

▸ ▿ Mécanique : Élasticité Linéaire (2 ECTS)

Volume horaire : 15h CM / 15h TD	Déformation plane d'une pièce en présence d'une fissure (calculé avec FreeFemm++) et les contours du déviateur des contraintes (visualisé avec Paraview)
Objectifs du cours : Ce cours est destiné à présenter aux futurs ingénieurs les bases en mécanique des solides : modéliser, analyser et résoudre le problème du chargement statique en élasticité linéaire.
Prérequis : Mécanique des milieux continus, équations elliptiques linéaires, discrétisation éléments finis, langage C++.
Contenu du cours : Rappels mécaniques des milieux continus : cinématique (description lagrangienne et eulérienne, déformation) et lois de conservation (masse, quantité de mouvement, tenseurs des contraintes, cercles de Mohr). Élasticité linéaire : loi constitutive, isotropie, loi de Hooke, équations de l'elasto-statique, conditions aux limites. Problèmes élémentaires et la signification mécanique des coefficients élastiques. Approche variationelle en déplacement : existence, unicité, approximation interne (éléments finis). Formulations 2D : problèmes anti-plane, plane et axisymétrique. Écrire et utiliser un code FreeFem++ pour résoudre un problème de chargement statique en élasticité linéaire. Visualisation (Paraview) et interprétation des résultats.

▸ ▿ Mesure de Risque (2 ECTS)

Volume horaire : 30h CM	La mesure de risque, un outil essentiel en finances
Objectifs du cours : Le but de ce cours est d'initier les étudiants, dans une partie théorique, aux outils de mesure des risques concernant la salle de marché et la gestion du portefeuille d'actifs. Le principal thème théorique est autour de la théorie des valeurs extrêmes.
Prérequis : Mathématiques de base de L1-L3 avec des acquis de niveau L3 en probabilité et statistique (fonctions convexes, fonctions de répartitions, estimation paramétriques, Théorème de la limite Centrale, Intervalle de Confiance).
Contenu du cours : Introduction aux produits dérivés dans un marché financier Mesures de risque monétaires: propriétés de la VaR et de la CVaR Quantiles : définitions et propriétés théorie de la loi des valeurs extrêmes Estimation des quantiles à l'aide de la théorie des lois de valeurs extrêmes

M.E. Art de l'Ingénieur (3 ECTS)

▸ ▿ Atelier Logiciels : Scilab (1 ECTS)

Volume horaire : 15h CM	Description d'un milieu poreux
Objectifs du cours : Ce cours se propose d'être à la fois l'occasion de découvrir le logiciel SCILAB, logiciel libre de type MATLAB, ainsi que certaines de ses «boîtes à outils» tout en appliquant les méthodes vues en cours à un problème concret, en l'occurence la résolution numérique des écoulements diphasiques et incompressibles en milieux poreux.
Contenu du cours : Le cours débutera par la présentation du modèle mathématique des écoulements diphasiques incompressibles en milieux poreux (équation elliptique en pression et hyperbolique en saturation). On présentera ensuite la discrétisation des équations par une méthode des volumes finis puis on étudiera la stabilité du schéma explicite en saturation et on terminera par la programmation sous Scilab de petits codes prototypes 1D et 2D pour illustrer les résultats théoriques.

▸ ▿ Atelier Logiciels : VBA (1 ECTS)

Volume horaire : 15h CM	Cotation d'action sous EXCEL
Objectifs du cours : Ces ateliers logiciel, orientation finance, ont pour but d'initier les élèves à la manipulation des logiciels SAS et VBA sur des cas concrets d'études de séries temporelles, d'actions ou de produits dérives. La manipulation de C-SHARP et des packages dérivés d'EXCEL sont aussi au programme.

▸ Voyage d'Étude (1 ECTS)

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DÉTAILS DU SEMESTRE 9

M.E. Langues Vivantes 9 (3 ECTS)

M.E. Culture d'Entreprise 9 (3 ECTS)

M.E. Projet de Fin d'Études - PFE (5 ECTS)

▸ ▿ M.E. Contrôle Optimal (3 ECTS)

Volume horaire : 24h CM / 15h Projet	Un exemple de contrôle optimal : Suivre une trajectoire donnée en injectant une quantité minimale de carburant
Objectifs du cours : Comprendre et maitriser les outils du contrôle optimal.
Prérequis : Outils et méthodes de l'optimisation en dimension finie.
Contenu du cours : Optimisation : de la dimension finie à la dimension infinie ; Principe du minimum de Pontryaguine ; Optimisation dynamique de Richard Bellman et équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman ; Introduction au contrôle des équations aux dérivées partielles ; Optimisation multi-critères ; Approche de Pareto.

▸ ▿ M.E. Modélisation des Incertitudes (3 ECTS)

Volume horaire : 24h CM / 15H Projet	Évaluer les incertitudes : un enjeu d'importance en aéronautique
Objectifs du cours : Le cours de modélisation des incertitudes dans l'industrie est destiné à sensibiliser les étudiants de la MACS 3 à cette problématique au travers du rappel des principales méthodes utilisées aujourd'hui dans l'industrie. Le cadre général de travail s'appuie sur les modèles statistiques et les méthodes de simulation probabilistes.
Prérequis : Mathématiques de base de L1-L3 avec des acquis de niveau L3 en probabilité et statistique (Algèbre linéaire, optimisation, fonctions de répartitions, estimation paramétriques, Théorèmes limites, Intervalle de Confiance).
Contenu du cours : Introduction aux fonctions de répartition et quantiles de variables aléatoires multidimensionnelles. Estimation paramétrique, théorèmes limite et Intervalles de confiances. Théorie des copules. Techniques de réduction de variance. Analyse d'incertitudes de modèles simplifiés par des polynômes de chaos. Analyse de la propagation des incertitudes et méthodes de cumul quadratique.

▸ ▿ M.E. Modélisation et Calcul Scientifique pour les Systèmes Complexes (3 ECTS)

Volume horaire : 24h CM / 15h Projets	Exemple de décomposition de domaine
Objectifs du cours : Ce cours se propose de donner un aperçu des diverses méthodes de décomposition de domaines, inventées au fil du temps dans divers contextes. Pour guider l'étudiant, nous donnerons un problème modèle simple sur lequel nous introduirons les principaux concepts et mécanismes, chaque fois illustrés par des petits programmes Matlab qu'il pourra faire tourner pour comprendre.
Prérequis : Analyse numérique 1, 2 et 3.
Contenu du cours : Rappels sur les méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, gradient). Méthodes de Schwarz. Méthode de Schur. Préconditionneur grille grossière. D'autre part cinq séances seront consacrées à la réalisation d'un projet de décomposition de domaines. Ce projet consistera en l'application et comparaison de ces méthodes à la résolution des équations d'Euler linéarisé instationnaire par un schéma temporel implicite. Un code explicite 2D sera fourni.

▸ ▿ M.E. Calcul Parallèle (2 ECTS)

Volume horaire : 30h CM	Le calcul parallèle permet d'utiliser au mieux la puissance des nouveaux ordinateurs
Objectifs du cours : Être capable d'écrire des algorithmes et de les mettre en œuvre sur diverses architectures parallèles à mémoires distribuées ou partagées.
Prérequis : Maîtrise du langage C et C++ (pour OpenCL), algorithmique, notions de calcul numérique et d'algèbre linéaire.
Contenu du cours : Architectures parallèles : Présentation des architectures SIMD et MIMD ; Machines à mémoires distribuées ou partagées ; Architecture NUMA. Programmation sur machines à mémoires distribuées : Présentation des principes de base au travers de MPI. Programmation sur machines à mémoires partagées : Présentation d'OpenMP. Programmation sur des accélérateurs de calculs de type GPGPU : Architecture des GPUs, principes de programmation. Travaux dirigés: Programmation d'algorithmes simples en MPI ; Parallélisation d'un code en OpenMP ; Accélération d'un code sur GPU avec OpenCL (en C++).

▸ ▿ M.E. Méthodes Probabilistes en Ingénierie (2 ECTS)

M.E. Informatique Avancée (2 ECTS)

▸ ▿ Optimisation Combinatoire (1 ECTS)

Volume horaire : 15h CM	Comment trouver la «meilleure» solution sur ce graphe ?
Objectifs du cours : Ce cours vise à introduire les principaux outils de l'optimisation combinatoire, ou discrète, tant du point de vue théorique que numérique.
Contenu du cours : Fondamentaux de la programmation linéaire : exemples de problèmes de programmation linéaire, résolution graphique, géométrie de la PL, bases et sommets du polyèdre, algorithme du simplexe. Éléments de l'optimisation combinatoire : algorithme «cutting plane» et «branch-and-cut».

▸ ▿ Cryptographie (1 ECTS)

Volume horaire : 15h CM	Les mathématiques sont au cœur des processus de cryptage utilisé sur Internet
Objectifs du cours : Comprendre les notions et les principes de base de la cryptographie ainsi que la théorie mathématique qui est derrière. Apprendre les algorithmes les plus importants qui sont utilisés en pratique (comme DES, RSA) et essayer à les programmer.
Contenu du cours : Cryptographie Symétrique : Générateurs pseudo-aléatoires - Chiffrement à flot (stream ciphers) ; Chiffrement par block (block ciphers) Cryptographie Asymétrique : Fonctions à sens unique (one way functions) ; Théorie des nombres et problèmes difficiles ; Logarithme discret - échange de cle Diffie Hellman - chiffrement El Gamal ; Factorisation - chiffrement RSA ; Signature électronique

M.E. Option Mathématique (1 cours au choix parmi 2) (2 ECTS)

▸ ▿ Théorie du Risque de Crédit (2 ECTS)

Volume horaire : 30h CM	Comment les mathématiques aident-elles à évaluer le risque en finance ?
Objectifs du cours : Le but du cours est d'introduire les diverses techniques proposées dans la littérature académique et professionnelle pour évaluer le risque de crédit et en déduire les primes de réserves. D'autre part, ce cours donne aux étudiants une vision de leur futur métier d'ingénieur financier. La deuxième partie de ce cours consiste à l'étude des modèles à volatilié stochastique en finance.
Prérequis : Mathématiques de base de L1-L3 avec des acquis de niveau L3 en probabilité et statistique, acquis de calcul stochastique (MACS 2), acquis en implémentation numérique probabiliste (Matlab ou Scilab).
Contenu du cours : Description de la chaîne du risque dans le marché du crédit. Modélisation des défauts d'entreprises. Introduction aux contrats CDS et CDO. Implémentation numérique de méthodes pour le calcul de la prime des CDS et CDO. Introduction aux modèles à volatilité stochastique.

▸ ▿ Mécanique : Élasticité Dynamique (2 ECTS)

Volume horaire : 30h CM	Déformation plane d'une pièce en présence d'une fissure (calculé avec FreeFemm++). Solution de l'équation de la chaleur
Objectifs du cours : Ce cours est destiné à présenter aux futurs ingénieurs les bases en mécanique des solides : modéliser, analyser et résoudre le problème du chargement dynamique en élasticité linéaire.
Prérequis : Mécanique des milieux continus, équations hyperboliques linéaires, discrétisation éléments finis, langage C++.
Contenu du cours : Rappels. Tenseur des petites déformations, contraintes, équations de mouvement, lois de conservations, le modèle élastique linéaire. Formulation du problème dynamique. Équations, conditions aux limites, formulation en déplacement (second ordre) et formulation en vitesse-contrainte (premier ordre). Ondes en milieu infini : décomposition de Helmholtz, ondes S, ondes P, ondes planes. Ondes dans une dimension de l'espace : méthode des caractéristiques, réflexions des ondes aux bords. Modes et fréquences propres. Formulation variationnelle du problème spectrale, base modale, décomposition de la solution dans la base modale. Calcul éléments fini des fréquences et modes propres. Formulations 2D : problèmes anti-plane, plane et axisymétrique. Approche variationnel en déplacement. Discrétisations en temps (Newmark) et en espace (éléments finis). Utilisation d'un code FreeFem++ pour résoudre un problème de chargement dynamique en élasticité linéaire. Visualisation (Paraview) et interprétation des résultats.

M.E. Option Modélisation (2 ECTS)

Option Externe (1 cours au choix parmi 2)

▸ ▿ Ingénierie Financière (Mutualise HEC) (1 ECTS)

Volume horaire : 30h CM	Avant de décrocher son téléphone, mieux vaut savoir comment sont calculées toutes ces courbes !
Objectifs du cours : Ce cours, en partenariat avec le Master spécialisé finance HEC Paris, a pour but de fournir les outils de base pour le calcul de risque et la valorisation ainsi que la couverture d'options en finance.
Prérequis : Mathématiques de base de L1-L3 ou CPGE, ingénierie financière (MACS 2), Calcul stochastique (MACS 2).
Contenu du cours : Calcul de risque. Modèle de Black & Scholes et couverture en delta. Calcul de grecques pour des options exotiques. Méthodes numériques (EDP, arbre, Monte Carlo) pour la valorisation d'options exotiques et options Américaines.

▸ ▿ Mathématiques et Interactions (Mutualisé Centrale Marseille) (1 ECTS)

Volume horaire : 30h CM	Comment les mathématiques peuvent-elles aider à comprendre les phénomènes liés à l'influx nerveux ?
Objectifs du cours : Ce cours est assuré en partenariat avec l'école d'ingénieur de Centrale Marseille. Il a pour but de présenter les interactions des mathématiques avec d'autres disciplines au travers de plusieurs mini-cours assurés par des spécialistes du domaine abordé.
Contenu du cours : Liste des thèmes abordés les années précédentes : 2013 : Mathématiques et environnement (dans le cadre de l'année des mathématiques pour la planète Terre, parrainée par l'UNESCO). Intervenants : J. Sainte-Marie (CETMEF-UPMCINIRA) et V. Maller (INRIA).

Option Logiciels (1 cours au choix parmi 2)

▸ ▿ Logiciel : Ansys-Fluent (Mutualise Énergetique) (1 ECTS)

Volume horaire : 15h Projets	Un exemple de simulation réalisé avec Ansys-Fluent
Objectifs du cours : Ce cours est une introduction à l'utilisation du logiciel Ansys-Fluent, logiciel dédié à la résolution numérique des équations de la mécanique des fluides. On présentera plusieurs tests d'applications, incluant notamment le cas des écoulements turbulents.
Contenu du cours : Théorème de Baschy-Buckingham : perte de charge, nombre de Reynolds. Équations de Navier-Stokes : forme synthétique, forme développée ; adimensionnement, similitude ; régimes d'écoulement ; résolution analytique dans un cas particulier d'écoulement laminaire ; frottement visqueux ; discrétisation : notions de schémas et de maillage. Présentation du logiciel Ansys-Fluent : champ d'application et description "menus" ; première application : écoulement laminaire validé par la solution analytique. Exposé sur la turbulence : physique de la turbulence et modèles de turbulence (RANS, LES, DNS) ; cas d'application avec Ansys-Fluent : RANS et LES.

▸ ▿ Méthodes Numériques en Ingénierie Financière (1 ECTS)

Volume horaire : 15h CM

Objectifs du cours : Sauf cas particuliers, il n'est pas possible de résoudre explicitement les problèmes d'évaluation en finance et il faut se tourner vers des méthodes numériques. Ce cours présente les méthodes de différences finies fondées sur la discrétisation de l'équation aux dérivées partielles satisfaite par la fonction valeur recherchée (équations de Kolmogorov). Elles conduisent à des systèmes linéaires qui peuvent être résolus par des approches directes ou itératives classiquement étudiées en analyse numérique. Une attention particulière est accordée à la convergence et à la stabilité des schémas de discrétisation à partir de leur interprétation probabiliste et à la mise en œuvre des algorithmes sous MATLAB/SCILAB.

Contenu du cours : Modèles de diffusion et évaluation d'options (rappel). Méthode des différences finies, un facteur. Méthode implicites (options américaines et trajectoire). Méthode des différences finies, deux facteurs.

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DÉTAILS DU SEMESTRE 10

M.E. Stage de Fin d'Études (30 ECTS)

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